Question

（2014?雅安）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，F为DC延长线上一点，且∠CBF=∠CDB．（1）求证：FB

（2014?雅安）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，F为DC延长线上一点，且∠CBF=∠CDB．（1）求证：FB为⊙O的切线；（2）若AB=8，CE=2，求sin∠F．

Answer 1

解答：（1）证明：连接OB．
∵CD是直径，
∴∠CBD=90°，
又∵OB=OD，
∴∠OBD=∠D，
又∠CBF=∠D，
∴∠CBF=∠OBD，
∴∠CBF+∠OBC=∠OBD+∠OBC，
∴∠OBF=∠CBD=90°，即OB⊥BF，
∴FB是圆的切线；
（2）解：∵CD是圆的直径，CD⊥AB，
∴BE=

1

2

AB=4，
设圆的半径是R，在直角△OEB中，根据勾股定理得：R²=（R-2）²+4²，
解得：R=5，
∵∠BOE=∠FOB，∠BEO=∠OBF，
∴△OBE∽△OBF，
∴OB²=OE?OF，
∴OF=

OB2

OE

=

25

3

，
则在直角△OBF中，sin∠F=

OB

OF

=

5

25 3

=

3

5

．