Question

如图，一次函数y=ax-1的图象与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=1

如图，一次函数y=ax-1的图象与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=10，tan∠AOC=13．（1）求a，k的值及点B的坐标；（2）观察图象，请直接写出不等式ax-1≥kx的解集；（3）在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，请你求出P点的坐标．

Answer 1

解答：解：（1）过A作AE⊥x轴，交x轴于点E，
在Rt△AOE中，OA=

10

，tan∠AOC=

1

3

，
设AE=x，则OE=3x，
根据勾股定理得：OA²=OE²+AE²，即10=9x²+x²，
解得：x=1或x=-1（舍去），
∴OE=3，AE=1，即A（3，1），
将A坐标代入一次函数y=ax-1中，得：1=3a-1，即a=

2

3

，
将A坐标代入反比例解析式得：1=

k

3

，即k=3，
联立一次函数与反比例解析式得：

y＝ 2 3 x?1 y＝ 3 x

，
消去y得：

2

3

x-1=

3

x

，
解得：x=-

3

2

或x=3，
将x=-

3

2

代入得：y=-1-1=-2，即B（-

3

2

，-2）；
（2）由A（3，1），B（-

3

2

，-2），
根据图象得：不等式

2

3

x-1≥

3

x

的解集为-

3

2

≤x＜0或x≥3；
（3）显然P与O重合时，△PDC∽△ODC；
当PC⊥CD，即∠PCD=90°时，∠PCO+∠DCO=90°，
∵∠PCD=∠COD=90°，∠PCD=∠CDO，
∴△PDC∽△CDO，
∵∠PCO+∠CPO=90°，
∴∠DCO=∠CPO，
∵∠POC=∠COD=90°，
∴△PCO∽△CDO，
∴

CO

DO

=

PO

CO

，
对于一次函数解析式y=

2

3

x-1，令x=0，得到y=-1；令y=0，得到x=

3

2

，
∴C（

3

2

，0），D（0，-1），即OC=

3

2

，OD=1，
∴

3 2

1

=

PO

3 2

，即OP=

9

4

，
此时P坐标为（0，

9

4

），
综上，满足题意P的坐标为（0，

9

4

）或（0，0）．