Question

已知函数f（x）=|x+a|+|2x-1|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）若f（x）≤2x的

已知函数f（x）=|x+a|+|2x-1|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）若f（x）≤2x的解集包含[12，1]，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，不等式f（x）≥2可化为|x+1|+|2x-1|≥2，
①当x≥

1

2

时，不等式为3x≥2，解得x≥

2

3

，
故此时不等式f（x）≥2的解集为x≥

2

3

；
②当-1≤x＜

1

2

时，不等式为2-x≥2，解得x≤0，
故此时不等式f（x）≥2的解集为-1≤x＜0；
③当x＜-1时，不等式为-3x≥2，解得x≤?

2

3

，故x＜-1；
综上原不等式的解集为{x|x≤0或x≥

2

3

}；
（2）因为f（x）≤2x的解集包含[

1

2

，1]，
不等式可化为|x+a|+2x-1≤2x，即|x+a|≤1，
解得-a-1≤x≤-a+1，
由已知得

?a?1≤ 1 2 ?a+1≥1

，解得?

3

2

≤a≤0
所以a的取值范围是[?

3

2

，0]．