Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动。（1）求AC、BC的长；（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm 2 ），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由；（4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设AC=4x，BC=3x， 在Rt△ABC中，AC 2 +BC 2 =AB 2 ， 即：（4x） 2 +（3x） 2 =10 2 ， 解得：x=2， ∴AC=8cm，BC=6cm；
（2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H， ∵AP=x， ∴BP=10-x，BQ=2x， ∵△QHB∽△ACB， ∴ ， ∴QH= x，y= BP·QH= （10-x）· x=- x 2 +8x（0＜x≤3）， ②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′， ∵AP=x， ∴BP=10-x，AQ=14-2x， ∵△AQH′∽△ABC， ∴ ， 即： ， 解得：QH′= （14-x）， ∴y= PB·QH′= （10-x）· （14-x）= x 2 - x+42（3＜x＜7）； ∴y与x的函数关系式为：y= ；
（3）∵AP=x，AQ=14-x， ∵PQ⊥AB， ∴△APQ∽△ACB， ∴ ， 即： ， 解得：x= ，PQ= ， ∴PB=10-x= ， ∴ ， ∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似；
（4）存在， 理由： ∵AQ=14-2x=14-10=4，AP=x=5， ∵AC=8，AB=10， ∴PQ是△ABC的中位线， ∴PQ∥AB， ∴PQ⊥AC， ∴PQ是AC的垂直平分线， ∴PC=AP=5， ∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小， ∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16， ∴△BCM的周长最小值为16。