如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,AC:BC=4:3,点P从点A出发沿AB方向向点B运动,速度为1cm/s,同

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,AC:BC=4:3,点P从点A出发沿AB方向向点B运动,速度为1cm/s,同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运... 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,AC:BC=4:3,点P从点A出发沿AB方向向点B运动,速度为1cm/s,同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动,速度为2cm/s,当一个运动点到达终点时,另一个运动点也随之停止运动。(1)求AC、BC的长;(2)设点P的运动时间为x(秒),△PBQ的面积为y(cm 2 ),当△PBQ存在时,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)当点Q在CA上运动,使PQ⊥AB时,以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC是否相似,请说明理由;(4)当x=5秒时,在直线PQ上是否存在一点M,使△BCM得周长最小,若存在,求出最小周长,若不存在,请说明理由。 展开
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2015-01-08 · 超过58用户采纳过TA的回答
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解:(1)设AC=4x,BC=3x,
在Rt△ABC中,AC 2 +BC 2 =AB 2
即:(4x) 2 +(3x) 2 =10 2
解得:x=2,
∴AC=8cm,BC=6cm;
(2)①当点Q在边BC上运动时,过点Q作QH⊥AB于H,
∵AP=x,
∴BP=10-x,BQ=2x,
∵△QHB∽△ACB,

∴QH= x,y= BP·QH= (10-x)· x=- x 2 +8x(0<x≤3),
②当点Q在边CA上运动时,过点Q作QH′⊥AB于H′,
∵AP=x,
∴BP=10-x,AQ=14-2x,
∵△AQH′∽△ABC,

即:
解得:QH′= (14-x),
∴y= PB·QH′= (10-x)· (14-x)= x 2 - x+42(3<x<7);
∴y与x的函数关系式为:y=

(3)∵AP=x,AQ=14-x,
∵PQ⊥AB,
∴△APQ∽△ACB,

即:
解得:x= ,PQ=
∴PB=10-x=

∴当点Q在CA上运动,使PQ⊥AB时,以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似;

(4)存在,
理由:
∵AQ=14-2x=14-10=4,AP=x=5,
∵AC=8,AB=10,
∴PQ是△ABC的中位线,
∴PQ∥AB,
∴PQ⊥AC,
∴PQ是AC的垂直平分线,
∴PC=AP=5,
∴当点M与P重合时,△BCM的周长最小,
∴△BCM的周长为:MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16,
∴△BCM的周长最小值为16。

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