Question

设F为抛物线C：y 2 =4x的焦点，过点P（-1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2

设F为抛物线C：y 2 =4x的焦点，过点P（-1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于______．

Answer 1

由题意设直线l的方程为my=x+1，联立 my=x+1 y 2 =4x 得到y 2 -4my+4=0，△=16m 2 -16=16（m 2 -1）＞0． 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），Q（x 0 ，y 0 ）． ∴y 1 +y 2 =4m，∴ y 0 = y 1 + y 2 2 =2m，∴x 0 =my 0 -1=2m 2 -1． ∴Q（2m 2 -1，2m）， 由抛物线C：y 2 =4x得焦点F（1，0）． ∵|QF|=2，∴ (2 m 2 -2 ) 2 +(2m ) 2 =2 ，化为m 2 =1，解得m=±1，不满足△＞0． 故满足条件的直线l不存在． 故答案为不存在．