Question

若二次方程ax2+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一个整数根，则自然数a=______

若二次方程ax2+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一个整数根，则自然数a=______．

Answer 1

∵原方程至少有一个整数根，
∴a≠0，△=4（2a-1）²-4a?4（a-3）=4（8a+1）为完全平方数，
设8a+1=（2m+1）²（m为自然数），
∴a＝

1

2

m(m+1)代入原方程，得

1

2

m(m+1)x2+2[m(m+1)?1]x+2m(m+1)?12＝0，
解之得，x1＝?2+

4

m

，x2＝?2?

4

m+1

，
∵x₁，x₂中至少有一个整数，
∴m|4或（m+1）|4，
又∵m为自然数，
∴m=1，2，4或m+1=2，4．
∴m=1，2，3，4，
∴a=1，3，6，10．
故答案为：1，3，6，10．