Question

已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-2x（1）求f（x）在R上的解析式（2）写出f（x）的

已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-2x（1）求f（x）在R上的解析式（2）写出f（x）的单调递增区间．

Answer 1

（1）当x＜0时，-x＞0，
由当x≥0时，f（x）=x²-2x，
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x，
又∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-x²-2x，
∴f(x)＝

x2?2x，x≥0 ?x2?2x，x＜0

（2）∵f（x）=x²-2x的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，
故当x≥0时，f（x）在（1，+∞）为增函数．
又∵f（x）=-x²-2x的图象是开口朝下，且以直线x=-1为对称轴的抛物线，
故当x＜0时，f（x）在（-∞，-1）为增函数．
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞），