Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=ex（x+1）给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=ex（

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=ex（x+1）给出下列命题：①当x＞0时，f（x）=ex（1-x）②函数f（x）有2个零点③f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）④?x1，x2∈R，都有|f（x1）-f（x2）|＜2其中正确的命题是______．

Answer 1

设x＞0，则-x＜0，故f（-x）=e^-x（-x+1）=-f（x），
∴f（x）=e^-x（x-1），故①错；
∵f（x）定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，又x＜0时，f（-1）=0，
x＞0时，f（1）=0，故f（x）有3个零点，②错；
当x＜0时，令f（x）=e^x（x+1）＞0，解得-1＜x＜0，
当x＞0时，令f（x）=e^-x（-x+1）＞0．
解得x＞1，综上f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞），③正确；
当x＜0时，f′（x）=e^x（x+2），f（x）在x=-2处取最小值为?

1

e2

，
当x＞0时，f′（x）=e^-x（-x+2），f（x）在x=2处取最大值为

1

e2

，
由此可知函数f（x）在定义域上的最小值为?

1

e2

，最大值为

1

e2

，而

1

e2

?(?

1

e2

)=

2

e2

＜2，
∴对任意的?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2，④正确．
故答案为：③④．