（2014?玉林）给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax2+bx+1．（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶
（2014?玉林）给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax2+bx+1．（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；（2）若...
（2014?玉林）给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax2+bx+1．（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线l′，则无论非零实数k取何值，直线l′与抛物线C都只有一个交点．①求此抛物线的解析式；②若P是此抛物线上任一点，过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点，O为原点．求证：OP=PQ．
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（1）解：∵l：y=kx，C：y=ax2+bx+1，当b=1时有A，B两交点，
∴A，B两点的横坐标满足kx=ax2+x+1，即ax2+（1-k）x+1=0．
∵B与A关于原点对称，
∴0=xA+xB=
，
∴k=1．
∵y=ax2+x+1=a（x+
）2+1-
，
∴顶点（-
，1-
）在y=x上，
∴-
=1-
，
解得 a=-
．
（2）①解：∵无论非零实数k取何值，直线l′与抛物线C都只有一个交点，
∴k=1时，k=2时，直线l′与抛物线C都只有一个交点．
当k=1时，l′：y=x+2，
∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b-1）x-1=0，
∵△=（b-1）2+4a=0，
∴（b-1）2+4a=0，
当k=2时，l′：y=2x+5，
∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b-2）x-4=0，
∵△=（b-2）2+16a=0，
∴（b-2）2+16a=0，
∴联立得关于a，b的方程组
，
解得
或
∴A，B两点的横坐标满足kx=ax2+x+1，即ax2+（1-k）x+1=0．
∵B与A关于原点对称，
∴0=xA+xB=
| k?1 |
| a |
∴k=1．
∵y=ax2+x+1=a（x+
| 1 |
| 2a |
| 1 |
| 4a |
∴顶点（-
| 1 |
| 2a |
| 1 |
| 4a |
∴-
| 1 |
| 2a |
| 1 |
| 4a |
解得 a=-
| 1 |
| 4 |
（2）①解：∵无论非零实数k取何值，直线l′与抛物线C都只有一个交点，
∴k=1时，k=2时，直线l′与抛物线C都只有一个交点．
当k=1时，l′：y=x+2，
∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b-1）x-1=0，
∵△=（b-1）2+4a=0，
∴（b-1）2+4a=0，
当k=2时，l′：y=2x+5，
∴代入C：y=ax2+bx+1中，有ax2+（b-2）x-4=0，
∵△=（b-2）2+16a=0，
∴（b-2）2+16a=0，
∴联立得关于a，b的方程组
|
解得
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