Question

已知△ABC中，AB=AC．（1）如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求证：CD=BE；（2）如图2，在△AD

已知△ABC中，AB=AC．（1）如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求证：CD=BE；（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的长；（3）如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC=2∠ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明．

Answer 1

（1）如图1，证明：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+CAE=∠BAC+∠CAE，
即∠DAC=∠BAE．
在△ACD与△ABE中，

AD＝AE ∠DAC＝∠BAE AC＝AB

，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD=BE；

（2）连接BE，
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∵CD垂直平分AE，
∴∠CDA=

1

2

∠ADE=

1

2

×60°=30°，
∵△ABE≌△ACD，
∴BE=CD=4，∠BEA=∠CDA=30°，
∴BE⊥DE，DE=AD=3，
∴BD=5；

（3）如图，过B作BF⊥BD，且BF=AE，连接DF，
则四边形ABFE是平行四边形，
∴AB=EF，
设∠AEF=x，∠AED=y，
则∠FED=x+y，
∠BAE=180°-x，∠EAD=∠AED=y，∠BAC=2∠ADB=180°-2y，
∠CAD=360°-∠BAC-∠BAE-∠EAD=360°-（180°-2y）-（180°-x）-y=x+y，
∴∠FED=∠CAD，
在△ACD和△EFD中，

AC＝FE ∠FED＝∠CAD AD＝ED

，
∴△ACD≌△EFD（SAS），
∴CD=DF，
而BD²+BF²=DF²，
∴CD²=BD²+4AH²．