Question

某流水线上每个产品不合格的概率为p（0＜p＜1），各产品合格与否相对独立，当出现1个不合格产品时即停机

某流水线上每个产品不合格的概率为p（0＜p＜1），各产品合格与否相对独立，当出现1个不合格产品时即停机检修．设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X，求X的数学期望E（X）和方差D（X）．

Answer 1

令q=1-p，X的概率分布为：
P{X=k}=q^k-1p，（k=1，2，…）
X的数学期望为：
E（X）=

∞

k＝1

kP{X=k}=

∞

k＝1

kq^k-1p
=p

∞

k＝1

（q^k）'
=p（

∞

k＝1

q^k）'
=p（

q

1?q

）'（等比数列求和公式）
=p

1

(1?q)2

=

1

p

．
又因为：
E（X²）=

∞

k＝1

k²P{X=k}=

∞

k＝1

k²q^k-1p
=p

∞

k＝1

[（q^k）'k]
=p[q

∞

k＝1

（q^k）']'
=p[

q

(1?q)2

]'
=

2?p

p2

因此：
D（X）=E（X²）-[E（x）]²
=

2?p

p2

-

1

p2

=

1?p

p2

．
综合以上分析，X的数学期望E（X）=

1

p

，方差D（X）=

1?p

p2

．