Question

已知函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．（1）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当a

已知函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．（1）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当a=4时，是否存在实数m，使得直线6x+y+m=0恰为曲线y=f（x）的切线？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；（3）设定义在D上的函数y=h（x）的图象在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0时，若h(x)?g(x)x?x0＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．当a=4，试问y=f（x）是否存在“类对称点”？若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵f（x）=x²-（a+2）x+alnx，
∴f′(x)＝2x?(a+2)+

a

x

＝

2x2?(a+2)x+a

x

＝

(2x?a)(x?1)

x

，其中x＞0，
令f'（x）=0，得x=1或x＝

a

2

．
∵a＞2，∴

a

2

＞1．
当0＜x＜1及x＞

a

2

时，f'（x）＞0；
当1＜x＜

a

2

时，f'（x）＜0；
∴f（x）的单调递增区间为(0，1)，(

a

2

，+∞)．
（2）当a=4时，f(x)＝x2?6x+4lnx，f′(x)＝2x+

4

x

?6，其中x＞0，
令f′(x)＝2x+

4

x

?6＝?6，方程无解，
∴不存在实数m使得直线6x+y+m=0恰为曲线y=f（x）的切线．
（3）由（2）知，当a=4时，函数y=f（x）在其图象上一点P（x₀，f（x₀））处的切线方程为y＝m(x)＝(2x0+

4

x0

?6)(x?x0)+

x

2 0

?6x0+4lnx0，
设?(x)＝f(x)?m(x)＝x2?6x+4lnx?(2x0+

4

x0

?6)(x?x0)?(

x

2 0

?6x0+4lnx0)，
则φ（x₀）=0．
?′(x)＝2x+

4

x

?6?(2x0+

4

x0

?6)＝2(x?x0)(1?

2

xx0

)＝

2

x

(x?x0)(x?

2

x0

)
若x0＜

2

，?(x)在(x0，

2

x0

)上单调递减，
∴当x∈(x0，

2

x0

)时，φ（x）＜φ（x₀）=0，此时

?(x)

x?x0

＜0；
若x0＞

2

，?(x)在(

2

x0

，x0)上单调递减，
∴当x∈(

2

x0

，x0)时，φ（x）＞φ（x₀）=0，此时

?(x)

x?x0

＜0．
∴y=f（x）在(0，

2

)∪(

2

，+∞)上不存在“类对称点”．
若x0＝

2

，?′(x)＝

2

x

(x?

2

)2＞0，
∴φ（x）在（0，+∞）上是增函数，
当x＞x₀时，φ（x）＞φ（x₀）=0，
当x＜x₀时，φ（x）＜φ（x₀）=0，故

?(x)

x?x0

＞0．
即此时点P是y=f（x）的“类对称点”
综上，y=f（x）存在“类对称点”，

2

是一个“类对称点”的横坐标．