Question

已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的焦点，过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为8，C上的

已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的焦点，过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为8，C上的动点到焦点距离的最小值为1，（1）求椭圆C的方程；（2）若点P是椭圆C上不与椭圆顶点重合的任意一点，点M是椭圆C上不与椭圆顶点重合且异于点P的任意一点，点M关于x轴的对称点是点N，直线MP，NP分别交x轴于点E（x1，0），点F（x2，0），探究x1?x2是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，请说明理由．

Answer 1

（1）∵△ABF₂的周长为8，C上的动点到焦点距离的最小值为1，
∴

4a＝8 a?c＝1 a2＝b2+c2

，解得

a＝2c＝2 b2＝3

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

＝1．
（2）设P（s，t），M（m，n），N（m，-n）．
则

s2

4

+

t2

3

＝1，

m2

4

+

n2

3

＝1，
∴s2＝

12?4t2

3

，m2＝

12?4n2

3

．
直线MP的方程为y?n＝

t?n

s?m

(x?m)，令y=0，解得x₁=

mt?sn

t?n

，
同理得到x₂=

sn+mt

n+t

．
∴x₁x₂=

m2t2?s2n2

t2?n2

=

(4? 4n2 3 )t2?(4? 4t2 3 )n2

t2?n2

=

4(t2?n2)

t2?n2

=4．
故为定值．