Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，0），点B（0，3），点P从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，0），点B（0，3），点P从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点A出发沿AO方向向点O匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ．若设运动的时间为t秒（0＜t＜2）．（1）求直线AB的解析式；（2）设△AQP的面积为y，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把△AOB的周长和面积同时平分？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接PO，并把△PQO沿QO翻折，得到四边形PQP′O，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′O为菱形？若存在，请求出此时点Q的坐标和菱形的边长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴

4k+b＝0 b＝3

解得

k＝? 3 4 b＝3

，
∴直线AB的解析式是y=-

3

4

x+3．

（2）在Rt△AOB中，AB=

BO2+AO2

=5，
依题意，得BP=t，AP=5-t，AQ=2t，
过点P作PM⊥AO于M，
∵△APM∽△ABO，
∴

PM

BO

＝

AP

AB

，
∴

PM

3

＝

5?t

5

，
∴PM=3-

3

5

t，
∴y=

1

2

AQ?PM=

1

2

?2t?（3-

3

5

t）=-

3

5

t²+3t．

（3）不存在某一时刻t，使线段PQ恰好把△AOB的周长和面积同时平分，
若PQ把△AOB周长平分，则AP+AQ=BP+BO+OQ，
∴（5-t）+2t=t+3+（4-2t），
解得t=1．
若PQ把△AOB面积平分，则S_△APQ=

1

2

S_△AOB，
∴-

3

5

t²+3t=3，
∵t=1代入上面方程不成立，
∴不存在某一时刻t，使线段PQ把△AOB的周长和面积同时平分．

（4）存在某一时刻t，使四边形PQP'O为菱形，
过点P作PN⊥BO于N，
若四边形PQP′O是菱形，则有PQ=PO，
∵PM⊥AO于M，
∴QM=OM，
∵PN⊥BO于N，可得△PBN∽△ABO，
∴

PN

AO

＝

PB

AB

，
∴

PN

4

＝

t

5

，
∴PN=

4

5

t，
∴QM=OM=

4

5

t，
∴

4

5

t+

4

5

t+2t=4，
∴t=

10

9

，
∴当t=

10

9

时，四边形PQP′O是菱形，
∴OQ=4-2t=

16

9

，
∴点Q的坐标是（

16

9

，0）．
∵PM=3-

3

5

t=

7

3

，OM=

4

5

t=

8

9

，
在Rt△PMO中，PO=

PM2+OM2

=

49 9 + 64 81

=

505

9

，
∴菱形PQP′O的边长为

505

9

．