Question

初中数学四边形几何题

已知正方形ABCD，等腰Rt△BEF，BE=EF，连接FD，取FD的中点G，连接EG，CG，当BEG在一条直线上时，求证∠BGC=90°。（上问已证EG=CG）

Answer 1

解：（1）EG=CG，EG⊥CG． （2分）
（2）EG=CG，EG⊥CG． （2分）
证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四边形BEMC是矩形．
∴BE=CM，∠EMC=90°，
由图（3）可知，△BEF为等腰直角三角形，∴BE=EF，
∴EF=CM．
∵∠EMC=90°，FG=DG，
∴MG=1 2 FD=FG．
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD．
∵EF=CM，
∴FM=DM，
∴∠F=45°．
又FG=DG，
∠CMG=1 2 ∠EMC=45°，
∴∠F=∠GMC．
∴△GFE≌△GMC．
∴EG=CG，∠FGE=∠MGC． （2分）
∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG．

Answer 2

证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四边形BEMC是矩形．
∴BE=CM，∠EMC=90°，
∵BEF为等腰直角三角形，
∴BE=EF，
∴EF=CM．
∵∠EMC=90°，FG=DG，
∴MG=1 2 FD=FG．
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD．
∵EF=CM，
∴FM=DM，
∴∠F=45°．
又FG=DG，
∠CMG=1 2 ∠EMC=45°，
∴∠F=∠GMC．
∴△GFE≌△GMC．
∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．
∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG．

追问

没看懂啊……辅助线是什么意思？向那个方向延长FE的话和DC不会有交点吧？反向延长的话明显∠AEM≠90°啊？

追答

Sorry你的题标的字母跟我那到不太一样。。。

Answer 3

连接AC交BD与O点，连接OG，可知HG是三角形DBF的中位线，所以HG平行与BF，后可证出三角形HOG∽三角形BOC，所以HO：GO＝BO：CO，因为对顶角，所以三角形BOH∽三角形COG，所以，∠BGC＝∠BHC＝90°

Answer 4

好难

Answer 5

好艰难