Question

函数f(x)=sinx/(2-cosx)的值域是

Answer 1

f(x)=(sinx-0)/[(-cosx-(-2)]
可示为，点（-cosx，sinx)到定点（-2，0）的斜率范围
所以点（-cosx，sinx)集合是以（0，0）为圆心半径为1的圆
所以定点为（-2，0）与圆相切的两条直线斜率之间的范围就是f(x)的值域
所以容易求得两条直线斜率为k=±√3/3
所以f(x)的值域为【-√3/3，√3/3】........(画个图是一目了然的）

Answer 2

令t=sinx/(2-cosx),去wg分母并化为:sinx+tcosx=2t,即:根式下1+t方=2t,两边同除以左边的根式下1+t方,再令右边式子的绝对值小于等于1,解出t的范围好所求函数的值域.

Answer 3

令 sinx/(2-cosx)=t
sinx=2t-tcosx
sinx+tcox=2t
根号（t^2+1）sin(x+ξ)=2t （ξ为辅角）
sin(x+ξ)=2t/根号（t^2+1） -1<=sin(x+ξ)<=1 即-1<=2t/根号（t^2+1）<=1
解得 -根号3/3<= t<=根号3/3