Question

已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且对任意的n属于正整数有an+Sn=n (1)设bn=an-1，求证：数列｛bn｝是等比数列

Answer 1

Sn=n -an
S(n-1)=(n-1)-a(n-1)
两式作差得：
an=1+a(n-1)-an
整理得：
2（an-1)=a(n-1)-1
即2bn=b(n-1)

追问

已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且对任意的n属于正整数有an+Sn=n
(1)设bn=an-1，求证：数列｛bn｝是等比数列；
(2)设c1=a1，且cn=an-an-1(n大于或等于2)，求｛cn｝的通项公式

追答

（1）见上
（2）令n=1，得：a1+S1=1，所以a1=c1=1/2。
由第一题知：b1=-1/2
bn=-1/2*(1/2)^(n-1)=-(1/2)^n
所以an=bn+1=1-(1/2)^n
所以cn=an-a(n-1)=(1/2)^n

Answer 2

证明：有An+Sn=n 则有A（n-1）+S（n-1）=n-1 两式相减得An-A(n-1)+Sn-S(n-1)=1
Sn-S(n-1)=An 因为An-A(n-1)=d d为常数 所以An=1-d 所以Bn=-d 为常数列 所以{Bn}为等比数列

追问

(2)设c1=a1，且cn=an-an-1(n大于或等于2)，求｛cn｝的通项公式