Question

如图，矩形ABCD，点o在对角线AC上，EF⊥AC交AB于E点，交AD于F点

1求证：△AEF∽△BCA
2若OC=4OA，BC=2AB，求证：DF=3AF
3若OC=3OA，且矩形ABCD的面积=8倍三角形AEF的面积，求AB：BC的值

Answer 1

1，

因为 EF⊥AC ，所以  ∠AFE=∠EAC

 △AEF和△BCA都是 Rt△

所以 △AFE∽△BAC

2，

O是EF与AC的交点

因为 ∠BAC=∠AFE

所以 AB/BC=OA/OE=OF/OA

因为 AB/BC=1/2，

所以 OA=2OF，OE=2OA=4OF

所以 EF=OF+OE=5*OF

如果 OC=4OA，

那么 AC=OA+OC=5*OA

而且 AF/AB=EF/AC=OF/OA=1/2

所以 AB=2*AF

AD=BC=2AB=4AF=AF+DF

所以 DF=4AF-AF=3AF

3，

过B做AC的垂线BM，M为垂足；做MN垂直BC

如果 OC=3OA，那么 AC=OA+OC=4*OA

因为

Saef=EF*OA/2=AF*AE/2

Sabcd=AC*BM=8*Saef=8*EF*OA/2=4*EF*OA=AC*EF

得 EF=BM  所以 △FEA全等△BMN

得 BN=AF，MN=AE

因为BC=BN+CN , AB=AE+BE=MN+BE

所以 CN/MN=BC/AB=(BN+CN)/(MN+BE)

CN*MN+CN*BE=BN*MN+MN*CN

CN*BE=BN*MN

设 CN/BN=MN/BE=k

那么CN=kBN, MN=kBE，BE=MN/k

BC=(k+1)BN, AB=(k+1)BE=(k+1)/k*MN

BC*AB=(k+1)^2/k*BN*MN

因为 Sabcd=8*Snmb

所以 (k+1)^2/k=4

k^2+2k+1=4k ==> (k-1)=0, k=1

即 CN=BN，AE=BE

即 ABCD是正方形，AB:BC=1:1

Answer 2

（1）角FAE=角ABC=90度
角FAC+角CAB=90度 且角FAC+角AFE=90度
所以角AFE=角CAB
所以：△AEF∽△BCA