Question

高数一道关于曲线积分与曲面积分，求详细解释

计算：环积分符号（L） z^2 ds 其中L为球面x^2+y^2+z^2=a^2与平面 x+y+z=0的相交部分(a>0)
需要详细解答，顺便问下：这类题中的ds表示的不是弧长微元么，那么如果用对弧长的曲线积分，由于换元时的极坐标有两个角度，怎么套用 积分符号f[fai(t),psai(t),omiga(t)]根号下fai'^2(t)+psai'^2(t)+omiga'^2(t) dt这公式?如果要换为对坐标的曲线积分，那么PQR又分别怎么找？求高人指教啊~答得好可以加分哦
如果打字不方便可以照张相发我邮箱gromling@163.com谢谢了

Answer 1

直接利用对称性即可。
环积分（L）z^2ds＝环积分（L）x^2ds＝环积分（L）y^2ds
＝1/3环积分（L）(x^2+y^2+z^2)ds
=1/3环积分（L）a^2ds L是半径为a的大圆，周长为2pi*a
=2pi*a^3/3。
ds是弧微元，曲线L的参数方程表示比较麻烦，这种题基本不用参数方程做，
真需要的话，那就从题目的两个方程中解出z和y（也即是用x做参变量），
分为两段来积分即可。注意参数肯定是一个。
另外，第一型曲线积分肯定不是转为对坐标的积分（第二型积分），
根本不需要找PQR。