Question

问一道初中数学几何题

要求：把这道选择题当应用题做（4个选项都是正确的），我们老师要求我们当应用题做，要些证明过程。

Answer 1

做辅助线DE，因为CD=且//BE，所以BCDE是平行四边形，进而是矩形。三角形AED全等于EBC
1.角ADE=90-角DAE=30，角DEC=90-角CEB=30
所以角ADE=角DEC，AD//EC。所以AECD是平行四边形
2.EC=EB/sin30=2EB=AB
EF是直角三角形AED的中线，所以EF=AF
又因为角A=60，所以AFE是正三角形，角FEA=60
角FEC=180-角FEA-角BEC=60=角A
由边角边定理得：ABF与ECF全等
3.作辅助线：ABCD的中线FG交BC与点G
S（BCFE)=S(BGFE)+S(CGF)
由于FG=1/2(AB+CD)=3，且FG与BC垂直
所以S（BCFE)=S(BGFE)+S(CGF)
=1/2(BE+FG)*BG+1/2FG*CG
而BG=CG=1/2BC=1/2*BE*tan60=根号3
所以S=4*根号3
4.设CD=X，则AF=AE=X,AB=2X,角A=60
所以三角形ABF是直角三角形 ###
所以角FBA=30，又角CEB=60，所以角EOB=90 （O是CE,BF交点）
所以CE,BF互相垂直。

至于###的解释，
由cosA=cos60=(AF^2+AB^2-BF^2)/(2*AF*AB)可得BF
简单验算即得AF^2+BF^2=AB^2

Answer 2

解：（1）平行四边形．理由如下：
∵AB=2CD，E为AB的中点，
∴AE=CD，
∵AB∥DC
∴四边形AECD为平行四边形．

（2）全等．理由如下：
连接DE，
∵AB=2CD，E为AB的中点，
∴EB=CD，
∵EB∥DC，
∴四边形EBCD为平行四边形．
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形BCDE是矩形，所以∠AED=90°，
又∵F是AD的中点，
∴EF=DF=AF，
因为∠A=60°，
得△AEF是等边三角形，
从而∠BEF=∠CDF=120°，
在△CDF与△BEF中，
∵
EF=DF
∠BEF=∠CDF
CD=BE
，
根据“SAS”得到△CDF≌△BEF．

Answer 3

1.∵E为AB中点，∴AE=EB。
又∵AB=2DC，∴DC=AE=EB
∵AE∥CD，AE=CD
∴四边形AECD是平行四边形
2.∵四边形AECD是平行四边形，且∠A=60°，∴∠DCE=60°，∴∠ECB=30°，∠CEB=60°∴EB=1/2EC=1/2DA
又∵F是DA中点，∴DF=FA，∴EB=AE=DF=AF，∴△FAE是正三角形
∴∠FEC=60°
FE=FA,∠FEC=∠A,AB=EC
得出结论
3.由上题可知，∠FEB=120°，EF=BE，则∠EFB=∠EBF=30°，则∠AFB=90°
∵CD=2，∴EC=4，∴FA=2，AB=4，勾股定理可知FB=2*根号3
∴S四边形FCEB=1/2*4*2根号3=4根号3
（所有对角线垂直的四边形的面积都可以用 1/2*对角线乘积 的形式来表示，证明过程可用乘法分配律）
4.由上题可知，∠EFB=∠FEB,FE=BE,∠FEC=∠BEC，∴△FGE≌BGF（G为FB与CE的焦点），∴2∠FGE=180°，∠FGE=90°，∴FB⊥EC

Answer 4

至于其中的证明过程，自己想想吧，挺简单的。

Answer 5

作AG平行于BC，与BD的延长线交于G
因为平行，AG/BC=AD/CD=1/2
所以，AG=1/2BC=BE
还是因为平行，AG/BE=AF/EF=1
AF=EF
作FH⊥AC,EJ⊥AC
FH/EJ=AF/AE=1/2
EJ=2FH
S
ADF=0.5*AD*FH
S
AEC=0.5*AC*EJ=0.5*(3AD)*(2EJ)=6S
ADF
S
FDCE=S
AEC-S
ADF=5SADF
得解