Question

高等数学：如图，定理3的这三个命题用函数极限的定义证明怎么证明？帮我写出证明过程，谢谢！

Answer 1

limf=A,limg=B,则:
对0<|x-x0|<δ1,|f-A|<ε1
对0<|x-x0|<δ2,|g-B|<ε2
取δ=min[δ1,δ2],则当0<|x-x0|<δ时,|f-A|<ε1和|g-B|<ε2都成立
∴|f+g-A-B|≤|f-A|+|g-B|<ε1+ε2=ε
即证明了lim(f+g)=A+B
其他同理

追问

关键是第二个乘法法则，第一个会了

第二个怎么写）

追答

利用函数极限的局部有界性

|fg-AB|=|(f-A)g+A(g-B)|≤|f-A||g|+|A||g-B|
g有极限,所以在x0的某个去心邻域内,|g|<M

即|f-A||g|+|A||g-B|<ε1M+|A|ε2

ε1和ε2是任意小的常数,类似於无穷小,Mε1+|A|ε2=ε也是任意小的常数,所以就证明了|fg-AB|<ε