已知函数f(x)=〔(x+1)lnx〕/x-1 （x＞0且x≠1）。 （1）讨论函数f(x)的单调性 （2）证明：f(x)＞2
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证明: f'(x)=(x-1/(x)-2*ln(x))/(x-1)²
令g(x)=x-1/(x)-2*ln(x)
g'(x)=(x-1)²/x²>0 g(x)单调递增，由于g(1)=0,
当x∈(0,1)时，g(x)<g(1)=0，于是f'(x)<0, f(x)单调递减；
当x∈(1,+∞)时，g(x)>g(1)=0,于是f'(x)>0, f(x)单调递增；
于是得出f(x)min=f(1),由罗比达法则得：
lim〔(x+1)lnx〕/(x-1)
x----1
=lim(lnx+(x+1)/x)=2
x----1
所以 f(x)＞2 .
令g(x)=x-1/(x)-2*ln(x)
g'(x)=(x-1)²/x²>0 g(x)单调递增，由于g(1)=0,
当x∈(0,1)时，g(x)<g(1)=0，于是f'(x)<0, f(x)单调递减；
当x∈(1,+∞)时，g(x)>g(1)=0,于是f'(x)>0, f(x)单调递增；
于是得出f(x)min=f(1),由罗比达法则得：
lim〔(x+1)lnx〕/(x-1)
x----1
=lim(lnx+(x+1)/x)=2
x----1
所以 f(x)＞2 .
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