已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>x的解集为(1,2),若f(x)的最大值大于1,求a的取值范围
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设f(x)=ax²+bx+c
∵不等式f(x)>x的解集为(1,2)
∴方程f(x)=x,即ax²+(b-1)x+c=0
解为x1=1,x2=2, 且a<0
根据韦达定理
(b-1)/a=-3;c/a=2
∴b=1-3a; c=2a
∵f(x)max=(4ac-b²)/(4a)>1
∴4ac-b²<4a
b=1-3a, c=2a代入上式得:
8a ²-(1-3a)²-4a<0
∴ a²-2a+1>0 ∴(a-1)²>0
∴a≠1∵a<0
∴a的取值范围是a<0
∵不等式f(x)>x的解集为(1,2)
∴方程f(x)=x,即ax²+(b-1)x+c=0
解为x1=1,x2=2, 且a<0
根据韦达定理
(b-1)/a=-3;c/a=2
∴b=1-3a; c=2a
∵f(x)max=(4ac-b²)/(4a)>1
∴4ac-b²<4a
b=1-3a, c=2a代入上式得:
8a ²-(1-3a)²-4a<0
∴ a²-2a+1>0 ∴(a-1)²>0
∴a≠1∵a<0
∴a的取值范围是a<0
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