Question

已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>x的解集为（1，2），若f(x)的最大值大于1，求a的取值范围

Answer 1

设f(x)=ax²+bx+c
∵不等式f(x)>x的解集为（1，2)
∴方程f(x)=x，即ax²+(b-1)x+c=0
解为x1=1,x2=2, 且a<0
根据韦达定理
（b-1)/a=-3;c/a=2
∴b=1-3a; c=2a
∵f(x)max=(4ac-b²)/(4a)>1
∴4ac-b²<4a
b=1-3a, c=2a代入上式得：
8a ²-(1-3a)²-4a<0
∴ a²-2a+1>0 ∴(a-1)²>0
∴a≠1∵a<0
∴a的取值范围是a<0

Answer 2

解：待定系数f(x)=aX²+bX+c
当f(x)=x时，解为X=1或X=2
aX²+（b-1）X+c=0
（b-1）/a=-3;c/a=2
可得：b=-(3a+1); c=2a
f(x)>x的解集为（1，2），可知a<0,
f(x)=a(x+b/2a)²-（b²-4ac）/4a
最大值是：-（b²-4ac）/4a>1
b=-(3a+1); c=2a代入不等式去解得：
a