Question

如图在平面直角坐标系中,等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上,直线y=3x-4进过

如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y=k
x
也经过A点．
（1）求点A坐标；
（2）求k的值；
（3）若点P为x正半轴上一动点，在点A的右侧的双曲线上是否存在一点M，使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）若点P为x负半轴上一动点，在点A的左侧的双曲线上是否存在一点N，使得△PAN是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，△AOB是等腰直角三角形，
∴AM=AN．
设点A的坐标为（a，a），点A在直线y=3x-4上，
∴a=3a-4，
解得a=2，
则点A的坐标为（2，2）．
设此反比例函数的解析式为y= x/k．将点A（2，2）代入，
求得k=4．
则反比例函数的解析式为y= 4/x．

（2）点A的坐标为（2，2），在Rt△AMO中，AO²=AM²+MO²=4+4=8．
∵直线AC的解析式为y=3x-4，则点C的坐标为（0，-4），OC=4．
在Rt△COD中，OC²=OD²+CD²（1）；
在Rt△AOD中，AO²=AD²+OD²（2）；
（1）-（2），得CD²-AD²=OC²-OA²=16-8=8．

（3）双曲线上是存在一点N（4，1），使得△PAN是等腰直角三角形．过B作BN⊥x轴交双曲线于N点，连接AN，过A点作AP⊥AN交x轴于P点，则△APN为所求作的等腰直角三角形．
在△AOP与△ABN中，∠OAB-∠PAB=∠PAN-∠PAB，
∴∠OAP=∠BAN，
AO=BA，∠AOP=∠ABN=45°，
∴△AOP≌△ABN（ASA），
∴AP=AN，
∴△APN是所求的等腰直角三角形．
∵B（4，0），点N在双曲线y= 4/x上，
∴N（4，1），则OP=BN=1．
则点N的坐标为（4，1）．

追问

第四问哩

Answer 2

解：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，△AOB是等腰直角三角形，
∴AM=AN．
设点A的坐标为（a，a），点A在直线y=3x-4上，
∴a=3a-4，
解得a=2，
则点A的坐标为（2，2）．
（2）设此反比例函数的解析式为y= x/k．将点A（2，2）代入，
求得k=4．
则反比例函数的解析式为y= 4/x．

（3）点A的坐标为（2，2），在Rt△AMO中，AO²=AM²+MO²=4+4=8．
∵直线AC的解析式为y=3x-4，则点C的坐标为（0，-4），OC=4．
在Rt△COD中，OC²=OD²+CD²（1）；
在Rt△AOD中，AO²=AD²+OD²（2）；
（1）-（2），得CD²-AD²=OC²-OA²=16-8=8．

（4）双曲线上是存在一点N（4，1），使得△PAN是等腰直角三角形．过B作BN⊥x轴交双曲线于N点，连接AN，过A点作AP⊥AN交x轴于P点，则△APN为所求作的等腰直角三角形．
在△AOP与△ABN中，∠OAB-∠PAB=∠PAN-∠PAB，
∴∠OAP=∠BAN，
AO=BA，∠AOP=∠ABN=45°，
∴△AOP≌△ABN（ASA），
∴AP=AN，
∴△APN是所求的等腰直角三角形．
∵B（4，0），点N在双曲线y= 4/x上，
∴N（4，1），则OP=BN=1．
则点N的坐标为（4，1）．