Question

微积分问题求解

如图

Answer 1

构造正交变换u＝(ax+by)/根号(a^2+b^2)，
v＝(dx+ey)/根号(d^2+e^2)，其中d，e满足(ad+be)/根号【(a^2+b^2)(d^2+e^2)】＝0
此时Jacobian行列式为1或－1，绝对值是1。
注意到正交变换不改变向量的长度，因此x^2+y^2<=1变换后是u^2+v^2<=1，
原积分＝二重积分（u^2+v^2<=1) f(u根号(a^2+b^2)+c)dudv
=积分（从－1到1）du 积分（从负根号(1－u^2)到根号(1－u^2)）f((u根号(a^2+b^2)+c))dv
=结论等式

Answer 2

先根据被积函数求出它的一个原函数，再利用区间求值相减即可。