Question

如图所示，已知正方形ABCD，E、F分别是BC,CD边的中点，AE,BF交与点P，求证：AD=PD

Answer 1

证明：设AB中点为H，连接DH交AE于点M，因为E,F分别是正方形ABCD边BC,CD的中点，所以
∠BAE＝∠CBF，∠CBF+∠AEB＝90，所以BF垂直于AE,同理可得DH垂直于AE.
所以MH平行于BP，H是AB中点，所以M为AP中点，所以AD=PD.

Answer 2

证明：延长BF、AD相交于点G
∵E是BC的中点
∴BE＝BC/2
∵F是CD的中点
∴CF＝DF＝CD/2
∵BC＝CD
∴BE＝CF
∵AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90
∴△ABE≌△BCF
∴∠BAE＝∠CBF
∵∠BAE+∠AEB＝90
∴∠CBF+∠AEB＝90
∴∠BPE＝90
∴∠APG＝∠BPE＝90
∵∠BFC＝∠GFD，∠BCD＝∠GDC＝90
∴△GDF≌△BCF
∴DG＝BC
∴DG＝AD
∴D是AG的中点
∴AD＝PD （直角三角形中线特性）

Answer 3

我的方法可能不是最简便的 你看看吧
以D为坐标原点 建立平面直角坐标系 这样ABCEF的坐标就能表示出来了
然后就求直线AE和直线BF的交点P 再用距离公式 算出 AD=PD
我这样一时半会儿想不出来怎么利用几何关系证明