Question

如图,已知梯形ABCD中,AD平行BC,对角线AC与BD互相垂直,对角线AC=6，BD=8

变式一：“对角线AC与BD互相垂直”改为：中位线长等于5
变式二：“对角线AC与BD互相垂直”改为：中位线长等于4
变式三：“对角线AC与BD互相垂直”改为：中位线长等于6

四道题都要做
求：梯形ABCD的高

Answer 1

如图，过A作AF∥BD，交CB的延长线于F,作AE⊥BC，交BC于E

∵AD平行BC

∴四边形AFBD为平行四边形

AF=BD=8，AF⊥AC

∴FC=√(AF²+AC²)=√(8²+6²)=10

△AFC∽△EFA

AE/AF=AC/FC       AE/8=6/10

AE=24/5=4.8

变式：设中位线长度=k，FE=x，AE=h

则AD+BC=FC=2k

8²=x²+h²................................(1)

6²=(2k-x)²+h²........................(2)

解(1)(2)得

x=(7+k²)/k

将k=5、4、6分别代入得

x=6.4、5.75、43/7

将x分别代入（1）式可得h

如x=6.4代入  h=4.8

..........

Answer 2

过D点作DE//AC交BC延长线于E，
∵AD//BC
∴四边形ACED是平行四边形
∴CE=AD (平行四边形的对边相等)
于是BD=6 DE=8
∴BE=BC+CE=BC+AD=10即AD+BC=10
∴△BDE是直角三角形
∴△BDE的面积=1/2×BD×DE=24
∵AD//BC CE=AD
∴△CDE的面积=△ADB的面积(两个等底等高的三角形的面积相等)
∴梯形ABCD的面积=△BDE的面积=1/2×AC×BD=24
总结一下：1.本题主要考查梯形辅助线的做法。观察图形可知，我们很容易作出辅助线：过D点作DE//AC交BC延长线于E，转化为三角形的问题，即可解决问题。
2.对于梯形的辅助线的作法，一般有三种。①平移腰：过一顶点作一腰的平行线；②平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线；③过底的顶点作另一底的垂线。通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。

追问

你能讲一下变式2和3的做法吗？

追答

对不起，我现在有事

Answer 3

过D作DE//AC交BC延长线於E,易证DE=AC=8,因为两对角线互相垂直,所以<BDE=90度,在直角三角形BDE中BE=根号(8平方+6平方)=10
过D作BE上的高h,则有h/8=6/10解得h=4.8

Answer 4

∵三角形abd全等于dca（ad=ad
∠bad=∠cda
ab=dc）
∴∠abd=∠dca
∵∠abc=∠dcb
∴∠dbc=∠acb
又∵ad‖bc
∴∠cad=∠bda
∴△aod、△boc是等腰△
∵bd⊥ac
∴∠aod=∠boc=90°（ac、bd相交的点是o）
∴△aod、△boc是等腰直角△
∴od²=ad²-ao²
bo²=bc²-co²
∴od=15根号2
bo=35根号2
∴bd=bo+do=50根号2
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