Question

能证明 1+1/2+1/3+...+1/n-lnn =C(n→正无穷)吗？

Answer 1

C是欧拉常数。
设Xn= 1+1/2+1/3+...+1/n-lnn
so Xn+1-Xn=1/(n+1)-(ln(n+1)-lnn)
上式令f(x)=lnx 由拉格朗日中值定理：f(x+1)-f(x)=f'(ξ)*(x+1-x) (ξ∈（x,x+1）)
so Xn+1-Xn=1/(n+1)-(ln(n+1)-lnn)=1/(n+1)-1/ξ<0 即Xn>Xn+1 (单调递减) (ξ∈（n,n+1))
由上述可知：ln(n+1)-lnn<1/n
so ln2-ln1<1/1
ln3-ln2<1/2
.....
ln(n+1) -lnn<1/n
将上式相加得Xn=1+1/2+...+1/n>ln(n+1) >lnn 即 Xn=1+1/2+...+1/n-lnn>0 （有界）
bec Xn单调有界
so ( lim(1+1/2+1/3+...+1/n-lnn)
n→正无穷 =C )

追问

什么是拉格朗日中值定理啊，单调有界又是什么？

追答

拉格朗日中值定理 是某个函数如f(x)在[a,b]上连续，在（a，b）上可导
则 f(a)-f(b)=f '(ξ)（b-a） ξ∈（a,b）
单调有界就是 某个函数或数列单调递增或递减且对于他们存在某个数如M 有他们<M
如果他们满足这样的条件则 他们是收敛于某个数 即当取极限时说他们趋向于那个数