Question

高一数学题，求解答。

如图,空间四边形ABCD中,AC,BD为对角线,E,F分别为AB,BC的中点,G,H分别在边CD,DA上，且CG/GD=AH/HD=α（α＞0）
（1）求证：点E,F,G,H共面
（2）若α=2，求证：直线FG.EH,BD相交于一点

Answer 1

证明：⑴∵CG/GD=AH/HD，∴GH∥AC，又E、F分别为AB、BC中点，∴EF∥AC
　　　　　∴　EF∥GH，∴点E、F、G、H四点共面.
⑵∵CG/GD=AH/HD=α＝2，∴GH/AC＝DG/DC＝1/3，
　　又∵EF/AC＝1/2，∴EF/GH＝3/2，
　　故由⑴得四边形EFGH是梯形，底边是EF、GH，
　　∴直线EH、FG必交于一点，设该点为P，即EH∩FG＝P.
　　因为平面ABD∩平面EFGH＝EH，直线EH在平面ABD内，且P∈EH，故P∈平面ABD，
　　同理　因为平面CBD∩平面EFGH＝FG，直线FG在平面CBD内，且P∈FG，故P∈平面CBD，
　　∴P是平面ABD与平面CBD的一个公共点，
　　据已知可得　平面ABD∩平面CBD＝BD，故P∈BD，
　　∴P是直线FG.EH,BD的公共点，且由于EH、FG是梯形EFGH的两腰，即EH与FG不平行也不重合，
　　∴直线FG.EH,BD相交于一点.