高一数学题,求解答。

如图,空间四边形ABCD中,AC,BD为对角线,E,F分别为AB,BC的中点,G,H分别在边CD,DA上,且CG/GD=AH/HD=α(α>0)(1)求证:点E,F,G,... 如图,空间四边形ABCD中,AC,BD为对角线,E,F分别为AB,BC的中点,G,H分别在边CD,DA上,且CG/GD=AH/HD=α(α>0)
(1)求证:点E,F,G,H共面
(2)若α=2,求证:直线FG.EH,BD相交于一点
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qcqGN250
2012-05-20 · TA获得超过5455个赞
知道大有可为答主
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证明:⑴∵CG/GD=AH/HD,∴GH∥AC,又E、F分别为AB、BC中点,∴EF∥AC
     ∴ EF∥GH,∴点E、F、G、H四点共面.
⑵∵CG/GD=AH/HD=α=2,∴GH/AC=DG/DC=1/3,
  又∵EF/AC=1/2,∴EF/GH=3/2,
  故由⑴得四边形EFGH是梯形,底边是EF、GH,
  ∴直线EH、FG必交于一点,设该点为P,即EH∩FG=P.
  因为平面ABD∩平面EFGH=EH,直线EH在平面ABD内,且P∈EH,故P∈平面ABD,
  同理 因为平面CBD∩平面EFGH=FG,直线FG在平面CBD内,且P∈FG,故P∈平面CBD,
  ∴P是平面ABD与平面CBD的一个公共点,
  据已知可得 平面ABD∩平面CBD=BD,故P∈BD,
  ∴P是直线FG.EH,BD的公共点,且由于EH、FG是梯形EFGH的两腰,即EH与FG不平行也不重合,
  ∴直线FG.EH,BD相交于一点.
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