Question

大一高等代数题

设A、B是数域P上的两个n阶方阵，且A在P中的n个特征值互异，试证A的特征向量恒为B的特征向量的充要条件是AB=BA
raphael2002 你的充分性证得看不明白。。。

Answer 1

充分性：我写详细点吧,设d是A的一个特征值，x是他对应的特征向量
AB=BA,则A(Bx)=ABx=BAx=d(Bx),故Bx也是A的一个特征向量，对吧？而且这个特征向量对应的特征值是d.因为A的特征值互不相同，所以他的每个值对应的特征向量空间都是1维的，不妨设d的特征向量空间是E(d)好了，那么dim(E(d))=1,而且已经知道x,Bx都在这个空间里，所以存在常数k,使得Bx=kx

必要性：
A[x1,x2,...,xn]=[x1,x2,...xn]*diag{d1,d2,...dn}
B[x1,x2,...,xn]=[x1,x2,...xn]*diag{k1,k2,...kn}
记P=[x1,x2,...,xn]，x1,x2,...xn线性无关故P可逆
故A=P*diag{d1,d2,...dn}*(P逆)
B=P*diag{k1,k2,...kn}*(P逆)
显然有AB=BA

Answer 2

证明:
充分性：
AB=BA,则ABx=BAx=dBx,故Bx对应A的特征值d的特征向量空间中
而显然此空间为1维，则Bx=kx

必要性：
A[x1,x2,...,xn]=[x1,x2,...xn]*diag{d1,d2,...dn}
B[x1,x2,...,xn]=[x1,x2,...xn]*diag{k1,k2,...kn}
记P=[x1,x2,...,xn]，x1,x2,...xn线性无关故P可逆
故A=P*diag{d1,d2,...dn}*(P逆)
B=P*diag{k1,k2,...kn}*(P逆)
显然有AB=BA
结论成立

Answer 3

饿``高等数学全补考的 - 0

Answer 4

你学的是第几版啊?