Question

数列an，满足a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5，当n>=5时an+1=a1a2……an-1，问存在几个正整数m，使得a1a2…am=a1

数列an，满足a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5，当n>=5时an+1=a1a2……an-1，问存在几个正整数m，使得a1a2…am=a1的平方+a2的平方+……＋am的平方

Answer 1

a(n+1)=a1a2……a(n-1)
a(n+2)=a1a2……a(n-1)an=a(n+1)an
a6=a1a2a3a4=24
a7=a1a2a3a4a5=a5a6=5*24
a8=a7a6=a6a5a6=a5a6^2=5*24^2
a9=a8a7=a5a6^2*a5a6=a5^2*a6^3=5^2*24^3
a(n+2)=a(n+1)an=ana(n+1)
=a(n-1)an^2
=a(n-1)[a(n-1)a(n-2)]^2=a(n-2)^2*a(n-1)^3
=a(n-2)^2*[a(n-2)a(n-3)]^3=a(n-3)^3*a(n-2)^5
=a(n-3)^3*[a(n-3)a(n-4)]^5=a(n-4)^5*a(n-3)^8
=a(n-4)^5*[a(n-4)a(n-5)]^8=a(n-5)^8*a(n-4)^13
……
=a5^bk*a6^b(k+1)

现看bk的规律：
看前项：
an、a(n-1)、a(n-2)、a(n-3)、a(n-4)、a(n-5)、a(n-6)、……a5
b1、 b2、 b3、 b4、 b5、 b6、 b7、……bk
1 、 1、 2、 3、 5、 8、 13、……
b1=b2=1,b(k+1)=bk+b(k-1)
b(k+1)=bk+b(k-1)
bk=(1/√5){[(1+√5)/2]^k-[(1-√5)/2]^k}
bk=b(n-4)=(1/√5){[(1+√5)/2]^(n-4)-[(1-√5)/2]^(n-4)}

所以
a(n+2)=a5^bk*a6^b(k+1)
=a5^b(n-4)*a6^b(n-3)
=a5^{(1/√5){[(1+√5)/2]^(n-4)-[(1-√5)/2]^(n-4)}}*a6^{(1/√5){[(1+√5)/2]^(n-3)-[(1-√5)/2]^(n-3)}}
=5^{(1/√5)[(1/2+√5/2)^(n-4)-(1/2-√5/2)^(n-4)]}*24^{(1/√5)[(1/2+√5/2)^(n-3)-[(1/2-√5/2)^(n-3)]}
即
a(n+1)=5^{(1/√5)[(1/2+√5/2)^(n-5)-(1/2-√5/2)^(n-5)]}*24^{(1/√5)[(1/2+√5/2)^(n-4)-[(1/2-√5/2)^(n-4)]}