Question

初二数学题求解

已知，如图，平行四边形ABCD中，对角线相交于O点，AB垂直AC，AB=AC，沿对角线AC将三角形ABC翻折至三角形AEC，EC与AD相交于点F

若AB=4cm，P为对角线BD上一动点，P以1cm/s的速度从B往D运动，时间为t秒，当t为何值时，三角形POA等腰三角形，请直接写出t的值
这道题是期考的最后一道题，网上搜不到答案，麻烦解题过程能简单点，能让我明白就好

Answer 1

先算出各个边的值吧
AB=4cm AC=4cm
BC=4√2cm BO=2√5cm
等腰三角形已知边为AO=2cm BO>AB
所以无论P点怎么动，AP>PO
所以AO只有作为腰的可能，不能当成底边
然后就是AP与时间T的函数和PO与时间T的函数
再让AP=2求t,PO=2求t.就ok了

追问

能把答案列出来吗，我看不懂

Answer 2

由题意得：AB=4，AO=AB/2=2，又AB⊥AC，所以BO=2√5。△APO为等腰三角形有3种情况。
①AP=AO，设BP=t，由余弦定理得：AP²=AB²+BP²-2AB·BPcos∠ABP。
则AP²=16+t²-16√5t/5=AO²=4，解得：t=6√5/5或t=2√5。又BD=2BO=4√5。
所以0≤t≤4√5，又当t=2√5时，P，O两点重合，所以舍去，即t=6√5/5。
②PO=AO，即∣4-t∣=2，所以t=2或t=6，都符合题意。
③AP=PO，即AP²=PO²，所以16+t²-16√5t/5=(4-t)²，无解。
所以综上所诉：当t=6√5/5或t=2或t=6时，△APO为等腰三角形。

追问

能把答案列出来吗，我看不懂

追答

t=6√5/5

搞错了，第二小点应该是∣2√5-t∣=2，得：t=2√5-2或2√5+2。

Answer 3

AC=AB=4，对角线互相平分，OA=2 OB=2√5 ， cos∠AOB=1/√5
4种情况
(1) OA=OP ( P在BO间) ===》 2√5-t = 2
(2) OA=OP ( P在DO间) ===》 t-2√5 = 2
(3) OA=AP ( P在BO间) ===> AP²=OA²+OP²-2cosAOB*OA*OP
===> 0=（2√5-t）²-2*2*（2√5-t）/√5
(4) OP=AP ( P在BO间) ===> AP²=OA²+OP²-2cosAOB*OA*OP
===> 0=4-2*2*（2√5-t）/√5

追问

能把答案列出来吗，我看不懂

追答

∵AC =4，平行四边形对角线互相平分
∴OA=2
∵AC⊥AB，△AOB为直角三角形，根据勾股定理
∴OB²=OA²+AB²=4+16=20，
∴OB=2√5
∴cos∠AOB = OA/OB = 1/√5
经过时间t秒，BP=1*t = t （cm）
要使△POA为等腰三角形，有下面几种情况
(1) OA=OP ( P在BO间)
此时OP=BO-BP= 2√5-t ， OA = 2
∴ t = 2√5-2
(2) OA=OP ( P在DO间)
此时OP = BO+BP = 2√5+t
∴ t = 2+2√5
(3) OA=AP ( P在BO间)
此时OP=BO-BP = 2√5-t
由余弦定理AP²=OA²+OP²-2cos∠AOB*OA*OP
==> AP²=AP²+OP²-2cos∠AOB*OA*OP
==> 0=（2√5-t）²-2*2*（2√5-t）/√5
==> t = 6√5/5
(4) OP=AP ( P在BO间)
此时OP=BO-BP = 2√5-t
==> AP²=OA²+OP²-2cosAOB*OA*OP
==> 0=4-2*2*（2√5-t）/√5
==> t = √5

不好意思我用的电脑，似乎到手机上排版就乱了