Question

已知函数f(x)=1+2根号3sinxcosx+2cos^2x

求函数f（x）的最小正周期
求函数f（x）的单调减区间

Answer 1

解：
f(x)=1+2(√3)sinxcosx+2(cosx)^2
f(x)=2(√3)sinxcosx-[1-2(cosx)^2]+2
f(x)=(√3)sin2x-cos2x+2
f(x)=2{[(√3)/2]sin2x-(1/2)cos2x}+2
f(x)=2[sin(π/3)sin2x-cos(π/3)cos2x]+2
f(x)=2cos(2x+π/3)+2
1、最小正周期：
2π/2=π
2、单调减区间：
f(x)=2cos(2x+π/3)+2
f'(x)=-4sin(2x+π/3)
令：f'(x)＜0，即：-4sin(2x+π/3)＜0
整理，有：sin(2x+π/3)＞0
解得：kπ+π/3＞x＞kπ-π/6，k=0、±1、±2、±3……
即：f(x)的单调减区间是：x∈(kπ-π/6，kπ+π/3) ，k=0、±1、±2、±3……

Answer 2

解：(1)f(x)=1+2√3sinxcosx+2cos^2x=2+√3sin2x+cos2x=2+2sin(2x+π/6)，所以最小正周期为π；
(2)因为正弦函数在[2kπ+π/2，2kπ+3π/2]（k为整数）上单调递减，
所以2kπ+π/2<2x+π/6<2kπ+3π/2，所以kπ+π/6<x<kπ+2π/3，
所以函数f（x）的单调减区间为[kπ+π/6,kπ+2π/3]

Answer 3

f(x)=2＋√3sin2x＋cos2x=2sin(2x＋π/6)＋21、增区间：2kπ－π/2≤2x＋π/6≤2kπ＋π/2kπ－π/3≤x≤kπ＋π/6则：增区间是：[kπ－π/3,kπ＋π/6],其中k是整数2、f(a)=2sin(2a＋π/6)＋2=3,得：sin(2a＋π/6)=1/2,2a＋π/6=5π/6,得：a=π/3