Question

正方形ABCD，AE=AD，∠DAE=60，BE交AC于点F。求证，AF+BF=EF

Answer 1

如图，做FA=FP，P在EF上。

过程不详细写了，看图很清楚。

先证△AFP是等边三角形。

再证△EAP全等于△BAF。

Answer 2

在线段EF上取点G，使FG=FA，又∠EAD=60°，∠DAB=90°，所以∠EAD+∠DAB=60°+90°=150°，又AE=AD=AB，所以∠AEB=∠ABE=（180°-150°）/2=15°；另一方面，∠DAC=90°/2=45°，所以∠EAF=∠EAD+∠DAC=105°，所以在三角形AEF中，∠AFE=180°-∠EAF-∠AEB=60°，在三角形FAG中，FA=FG，∠AFG=∠AFE=60°，所以三角形FAG是等边三角形，AF=AG，且有∠EAG=∠EAF-∠GAF=105°-60°=45°，又∠BAC=45°，所以∠EAG=∠BAF，又EA=AD=BA，所以三角形EAG≌三角形BAF（SAS），所以EG=BF，所以EF=EG+GF=BF+AF