Question

已知：如图，CD是RT△ABC的斜边AB边上的高，角平分线AT交CD于H，DE⊥AC于E，交AT于F。

求证：AH²=AF*AT

Answer 1

因为AT是角平分线，而DE⊥AC、CD⊥AB，
因此△AEF∽△ADH。
因此AF/AE = AH/AD。因此AF/AH = AE/AD = sinB。
同样，因为CD⊥AB，AC⊥BC，
因此△ADH∽ACT。
因此AH/AD = AT/AC。因此AH/AT = AD/AC = sinB。
因此AF/AH = AH/AT，即AH²=AF*AT。

Answer 2

证明：
∵CD⊥AB，DE⊥AC
∴∠ADC＝∠AED＝90
∵∠DAE＝∠CAD
∴△ACD∽△ADE
∴AD/AC＝AE/AD
∵AT平分∠BAC
∴∠BAT＝∠CAT
∵∠ACB＝90
∴△ADH∽△ACT
∴AH/AD＝AT/AC
∴AH/AT＝AD/AC
又∵∠ADC＝∠AED＝90, ∠BAT＝∠CAT
∴△ADH∽△AEF
∴AH/AD＝AF/AE
∴AF/AH＝AE/AD
∴AF/AH＝AH/AT
∴AH²=AF*AT