Question

已知函数f（x）=2sin（x+π/6）+a。（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）在【-π/2，π/2】上的

已知函数f（x）=2sin（x+π/6）+a。（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）在【-π/2，π/2】上的最大值与最小值的和为√3，求实数a的值。

Answer 1

(1)令2kπ-π/2≤x+π/6≤2kπ+π/2，得：2kπ-2π/3≤x≤2kπ+π/6
所以f(x)的单调递增区间为[2kπ-2π/3,2kπ+π/6] (k∈Z)
(2)当x∈[-π/2，π/2]时，x+π/6∈[-π/3,2π/3]
则：sin(x+π/6)∈[-√3/2,1]
所以f(x)max=2×1+a=2+a，f(x)min=2×(-√3/2)+a=-√3+a
所以f(x)max+f(x)min=2+a-√3+a=√3
所以a=-1+√3

Answer 2

x+pi/6 在(-pi+2kpi,pi+2kpi)上为单调增区间
所以x在(-7pi/6+2kpi,5pi/6+2kpi）上为单调增区间
[-pi/2,pi/2]为增区间
f(x)max=f(pi/2) f(x)min=f(-pi/2)
f(pi/2)+f(-pi/2)=2sin(pi/2+pi/6)+2sin(-pi/2+pi/6)+2a
=2sin(pi/3)-2sin(pi/3)+2a=√3
a=√3/2

Answer 3

（1）（2kπ-2π/3，2kπ+π/3）（k∈Z）
（2）在π/3处取最大值，-π/2处取最小值，a=√3-1