Question

如图，四边形ABCD是矩形，把矩形ABCD沿直线AC折叠后，点B落在点E处，连接DE

1.试判定四边形ACDE的形状，说明理由；
2.矩形ABCD中，若AB=a，AD=b（a<b),求DE的值

Answer 1

解：(1)易知A、B、C、D、E在以AC为直径的圆上，所以以AC为直径作辅助圆，则∠ACE=∠ADE，由折叠可知△ABC≌△AEC≌△CDA，所以∠ACE=∠ADE=∠DAC，所以AC∥DE，所以四边形ACDE为等腰梯形。

(2)由（1）可知∠EDF=∠FDE，所以EF=FD，设EF=x，则FD=x，FC =AF=b-x，(b-x):x=AC:ED

AC=√(a^2+b^2)，所以ED=x√(a^2+b^2)/(b-x)

在直角三角形AEF中AF^2=AE^2+EF^2即（b-x）^2=a^2+x^2所以x=(b^2-a^2)/(2b)

所以ED=x√(a^2+b^2)/(b-x)=(b^2-a^2) √(a^2+b^2)/(b^2+a^2)