Question

2012数学联赛最后一题，如图

Answer 1

(1)n=1时， 左=1/（3-2）=1<右=7/6成立；
（2）n=2时， 左=1/（3-2）+1/（9+4）=1+1/13<右=7/6成立；
n=3,4同理易证：
(1)n>3时，3^n-3^(n-1)=2×3^(n-1)>2^n; 即：3^n-2^n>3^(n-1);
所以： 1/（3^n-2^n)<1/3^(n-1);
即 1/[3^5+(-2)^5]=1/(3^5-2^5)<1/3^4;
..................................; 1/[3^(2n-1)+(-2)^(2n-1)]=1/[3^(2n-1)-2^(2n-1)]<1/3^(2n-2);
又因为：1/（3^n+2^n)<1/3^n; 即1/(3^4+2^4)<1/3^4;,,,,,,,1/[3^(2n)+2^(2n)]<1/3^(2n)
所以分n为奇数和n为偶数就可以证明啦！
当n为奇数时：设n=2k+1,则左=1+1/13+1/19+1/[3^4+2^4]+1/[3^5-2^5]+1/[3^6+2^6]+[3^7-2^7]
+....+1/[3^(2k-2)+2^(2k-2)]+1/[3^(2k-1)-2^(2k-1)]+1/[3^(2k)+2^(2k)]+1/[3^(2k+1)-2^(2k+1)]
<1+1/13+1/19+ 1/3^4+1/3^4+1/3^6+1/3^6+......+1/3^(2k-2)+1/3^(2k-2)+1/3^(2k)+1/3^(2k)
<1+1/12+1/18+2[1/3^4+1/3^6+1/3^8+......+1/3^(2k-2)+1/3^(2k)]
=1+3/36+2/36+2(1/3^4)[1-(1/9)^(k-1)]/(1-1/9)
=1+5/36+2×(1/81)[1-(1/9)^(k-1)]×(9/8)
=1+5/36+(1/36)[1-(1/9)^(k-1)]<1+5/36+1/36=1+1/6=7/6
即左>右成立；（注意：1/3^4+1/3^6+1/3^8+......+1/3^(2k-2)+1/3^(2k)是公比为1/9的等比数列的前k-1项的和；）
当n为偶数时，设n=2k; 则
左=1+1/13+1/19+1/[3^4+2^4]+1/[3^5-2^5]+1/[3^6+2^6]+[3^7-2^7]
+....+1/[3^(2k-2)+2^(2k-2)]+1/[3^(2k-1)-2^(2k-1)]+1/[3^(2k)+2^(2k)]
<1+1/13+1/19+ 1/3^4+1/3^4+1/3^6+1/3^6+......+1/3^(2k-2)+1/3^(2k-2)+1/3^(2k)
<1+1/12+1/18+2[1/3^4+1/3^6+1/3^8+......+1/3^(1/2k-2)+1/3^(2k)]-3^(2k)
<1+1/12+1/18+2[1/3^4+1/3^6+1/3^8+......+1/3^(2k-2)+1/3^(2k)]
=.....<7/6;
所以原不等式成立

Answer 2

buzhi