Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2根号2

(1)求证：平面ABC垂直平面APC （2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值

Answer 1

第一个问题：
取AC的中点为D。
∵AB＝BC＝2√2、AC＝4，∴AB^2＋BC^2＝AC^2，∴由勾股定理的逆定理，有：AB⊥BC。
由AB⊥BC、AD＝CD，得：BD＝AC/2＝2。

∵PA＝PC＝AC＝4，∴AD＝CD＝2、PD⊥CD，∴PD＝√3CD＝2√3。
∵PD＝2√3、BD＝2、PB＝4，∴PD^2＋BD^2＝PB^2，∴由勾股定理的逆定理，有：BD⊥PD。
由AB＝BC、D∈AC且AD＝CD，得：BD⊥AC。
由BD⊥AC、BD⊥PD、AC∩PD＝D，得：BD⊥平面APC，而BD在平面ABC上，
∴平面ABC⊥平面APC。

第二个问题：
取BC的中点为E，过A作AF⊥平面PBC交平面PAC于F。
∵PB＝PC＝4、BC＝2√2，又BE＝CE，∴BE⊥PE、BE＝√2，
∴由勾股定理，有：PE＝√（PB^2－BE^2）＝√（16－2）＝√14。
∴S(△PBC)＝（1/2）BC×PE＝（1/2）×2√2×√14＝2√7。
∴V(A－PBC）＝（1/3）S(△PBC)×AF＝（1/3）×2√7AF。

∵PA＝PC＝AC＝4，∴S(△PAC)＝（1/2）AC×PD＝（1/2）×4×2√3＝4√3。
∵BD⊥平面PAC，∴V(B－PAC)＝（1/3）S(△PAC)×BD＝（1/3）×4√3×2＝8√3/3。

显然有：V(A－PBC）＝V(B－PAC)，∴（1/3）×2√7AF＝8√3/3，∴AF＝4√3/√7。
∴sin∠APF＝AF/PA＝（4√3/√7）/4＝√3/√7＝√21/7。
∵AF⊥平面PBC，∴∠APF就是PA与平面PBC所成的角。
∴PA与平面PBC所成角的正弦值为 √21/7。