Question

证明：arctanX2-arctanX1<=X2-X1

Answer 1

证明：构造函数 F(X)=arctanX, 令X1<X2, 显然F(X)在[X1,X2]区间内连续且在（X1,X2）区间内可导
因此F(X)z在区间[X1,X2]上满足拉格朗日中值定理，因此至少存在一点c, X1<c<X2, 满足
F(X2)-F(X1)=f'(c)(X2-X1),
即acrtanX2-arctanX1=[1/(1+c^2)]*(X2-X1),
因为1/(1+c^2)<=1，所以arctanX2-arctanX1=[1/(1+c^2)]*(X2-X1)<=X2-X1
反之，令X2<X1也可以得出上述结论。