Question

梯形ABCD中，DC平行AB，E是BC上一点，AE平分角BAD，DE平分角ADC（1）求证CE=BE（2）求证AD=CD+AB

Answer 1

（1）过点E作直线垂直AB与点M，垂直DC与点N
AE平分角BAD，DE平分角ADC，
所以点E到直线AB与到直线AD的距离相等，到直线DC与直线AD的距离相等
所以点E到直线AB与到直线DC的距离相等，
即EN＝ME，
由角角边的三角形MEB与三角形NEC全等
所以CE=EB
（2）在（1）的基础上，过点E作EF//AB，交AD与点F
易得：∠CDE=∠EDA=∠DEF，所以DF=EF
又，∠DAE＝∠BAE＝∠FEA，所以AF=EF
由中外线定理知：1/2(DC+AB）=EF
所以：AD=CD+AB

Answer 2

过E作EF∥AB交AD于F，则EF∥CD，∠AEF=∠BAE，
∵∠BAE=∠FAE，
∴∠FAE=∠AEF，∴AF=EF，同理：DF=EF，
∴AF=DF，由AB∥EF∥CD得：BE：CE=AF：DF=1，∴CE=BE
⑵延长AE交DC的延长线于G，易得：ΔEAB≌ΔAGC，∴CG=AB，AE=GE，
∴DG=AB+CD，
∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AE、DE是角平分线，∴∠EAD+∠EDA=1/2(∠BAD+∠ADC)=90°，
∴∠AED=90°。
∴DE⊥AG，且DE平分AG，即DE是线段AG的垂直平分线，
∴AD=CG=CD+AB

Answer 3

证明：
（1）延长DE交AB的延长线于点F，
∵DC∥AB
∴∠ADC+∠DAB=180°
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC
∴∠ADE=∠CDE=½∠ADC，∠DAE=∠EAB=½∠DAB
∴∠ADE+∠DAE=½（∠ADC+∠DAB）=90°
∴∠AED=90°
∴∠AEF=90°
在△ADE与△AFE中，
∠DAE=∠EAB
AE＝AE
∠AED＝∠AEF
∴ △ADE≌△AFE
∴DE＝FE
∵DC∥AB
∴∠CDE＝∠F
在△CDE与△BFE中，
∠CDE=∠F
DE＝FE
∠DEC＝∠FEB
∴ △CDE≌△BFE
∴CE＝BE
（2）由（1）有△ADE≌△AFE
∴AD＝AF
△CDE≌△BFE
∴CD＝BF
∵AF＝AB+BF
∴AD＝AB+CD
即AD=CD+AB