Question

过抛物线y²=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,求|AF|·|FB|的取值范围-

（要求步骤具体，本人高二学生，别用高数，公式之类的，看不懂）

Answer 1

[[[注:用"参数法" ]]]
解
由题设,两点A,B均在抛物线y²=4x上,
故可设A(a², 2a), B(b², 2b), (a,b∈R, a≠b)
显然,焦点F(1,0)
[[[1]]]
易知,三点A, F, B共线,
两条直线AF, BF斜率相等.
∴(2a)/(a²-1)=(2b)/(b²-1)
a(b²-1)=b(a²-1)
ab(b-a)+(b-a)=0.
∴ab=-1.
[[[2]]]
由抛物线定义可知
|AF|=a²+1. |BF|=b²+1
由基本不等式可得:
|AF|=a²+1≥2|a|
|BF|=b²+1≥2|b|
两式相乘,结合ab=-1可得:
|AF|×|BF|≥4
等号仅当|a|=|b|=1,且a+b=0时取得
∴取值范围为[4, +∞)

Answer 2

高二的常规解法:设过焦点的直线方程AB (1)当斜率k存在时为:y= k(x-1),与抛物线方程y²=4x联立后得
k²x²-(2k²+4)x+k²=0,由韦达定理得:X1+X2=2+4/k², X1*X2=1,
又由焦半径公式∣AF∣=X1+p/2=X1+1, ∣BF∣=X2+p/2=X2+1,所以:
∣AF∣*∣BF∣=(X1+1)(X2+1)=(X1+X2)+(X1*X2)+1=2+4/k²+1+1>4 (因4/k²>0),
(2)当斜率k不存在时即AB 平行于Y轴时，∣AF∣=∣BF∣=p=2。即∣AF∣*∣BF∣=4。
所以∣AF∣*∣BF∣≥4

Answer 3

|AF|•|BF|≥4，详情如图所示