Question

过抛物线y²=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A、B两点。

（1）求线段AB的长度与θ之间的函数关系（以θ为自变量）；（2）求线段AB中点M的轨迹。(注：别用高数，我还是高二)

Answer 1

1、假如θ=90°，【反正是特殊情况，你可以自己算】，此时|AB|=2p；
2、假如θ≠90°，设：
AB：y=k(x－p/2)，其中k=tanθ。将直线方程代入抛物线y²=2px中，得：
k²(x－p/2)²=2px
k²x²－(k²＋2)px＋(1/4)k²p²=0 --------------------------------------------(1)
则：|AB|=√(1＋k²)×|x1－x2|
=√(1＋k²)×√[(x1＋x2)²－4x1x2]
=2p/(sin²θ)
综合，有：|AB|=2p/sin²θ
3、设：AB中点是M(x，y)
由(1)，得：
x=[(k²＋2)p]/(2k²) -------------------------------------(2)
因y=k(x－p/2)，得：k=y/[x－p/2]，代入(2)中，得：
(2x)/(p)=1＋2(x－p/2)²/(y²)
化简下即可。

Answer 2

1）设直线x=ycotθ+p/2
y²=2px
x=ycotθ+p/2
y²-2pycotθ-p²=0
设A(x1,y1)B(x2,y2)
y1+y2=2pcotθ
y1y2=-p²
|AB|=√(1+cot²θ)[(y1+y2)²-4y1y2]=√(1+cot²θ)(4p²cot²θ+4p²)=2p√((cotθ)^4+1)=2p/sinθ
2)xm=(x1+x2)/2
ym=(y1+y2)/2
=>xm=(y1²/2p+y2²/2p)/2=[(y1+y2)²-2y1y2]/4p=(4p²cot²θ+2p²)/4p=pcot²θ+p/2
ym=pcotθ
xm=ym²/p+p/2
∴AB中点M的轨迹:y²=p(x-p/2)