Question

定义:若数列{An}满足An+1=An2,则称数列{An}为“平方递推数列”.

已知数列{an}中，a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=2x2+2x的图象上，其中n为正整数．
（Ⅰ）证明：数列{2an+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2an+1）}为等比数列．
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn=（2a1+1）（2a2+1）…（2an+1），求数列{an}的通项公式及Tn关于n的表达式．
（Ⅲ）记bn=log(1+2an)Tn，求数列{bn}的前n项之和Sn，并求使Sn＞2010的n的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）点（an，an+1）在函数f（x）=2x²+2x上，即a(n+1)=2a(n)²+2a(n)
2a(n+1)+1=4a(n)²+4a(n)+1=[2a(n)+1]²
lg(2a(n+1)+1)=2lg(2a(n)+1)
所以数列{2an+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2an+1）}为等比数列．
（Ⅱ）2a(1)+1=5 所以 lg(2a(n)+1)=2^(n-1)lg5
a(n)=[5^(2^(n-1))-1]/2
lgTn=lg（2a1+1）+lg（2a2+1）+…+lg（2an+1）=[1+2+...+2^(n-1)]lg5=[2^n-1]lg5
Tn=5^(2^n-1)
（Ⅲ）记bn=log(1+2an)Tn=log(1+2an)+logTn=[2^n+2^(n-1)-1]lg5
Sn=b1+b2+...+bn=[-n-3+2^n+2^(n+1)]lg5
Sn＞2010
[-n-3+2^n+2^(n+1)]lg5>2010
-n-3+2^n+2^(n+1)>2010/lg5约等于2875.659882
-n-3+2^n+2^(n+1)为n的增函数
当n=9时-n-3+2^n+2^(n+1)=1524
当n=10时-n-3+2^n+2^(n+1)=3059
Sn＞2010的n的最小值为10