Question

如图，RT三角形ABC与RT三角形DCE有公共顶点C，且∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC,DC=EC,连接AD,BE，若CM⊥BE

1 求证：直线CM与AD交点N为AD中点
2 若∠ACD=60°，AC=10，DC=6，求CN的长

Answer 1

1、延长CN，从D作OP//CA，交CN的延长线于P。连结PA，

∵〈ECD=〈ACB=90°，

∴〈DCA+〈ECB=360°-90°-90 =180°，

∵PD//CA，

∴〈PDC+〈DCA=180°，（二平行线同旁内角和为180度）

∴〈PDC=〈ECB，

∵〈DCE=90°，

∴〈DCP+〈ECM=90°，

∵〈EMC=90°，

∴〈CEM+〈ECM=90°，

∴〈DCP=〈CEM（B），

∵DC=EC，（已知），

∴△ECB≌△CDM，（ASA）

∴PD=BC，

∵BC=AC，（已知）

∴PD=AC，

∴四边形ACDP是平行四边形，（对边平行且相等的四边形是平行四边形），

∴N是AD的中点，（平行四边形对角线互相平分），

2、在平行四边形ACDP中，PD=CA=10，CD=6,

〈ACD=60°，

〈PDC=180°-60°=120°，（同旁内角互补）

根据余弦定理，

PC^2=PD^2+DC^2-2PD*DC*cos<PDC

=10^2+6^2-2*6*10*(-1/2)

=196,

∴PC=14，

∵PC=2CN，

∴CN=7。

Answer 2

1、延长CN，从D作OP//CA，交CN的延 长线于P。连结PA， ∵〈ECD=〈ACB=90°， ∴〈DCA+〈ECB=360°-90°-90 =180°， ∵PD//CA， ∴〈PDC+〈DCA=180°，（二平行线同旁 内角和为180度） ∴〈PDC=〈ECB， ∵〈DCE=90°， ∴〈DCP+〈ECM=90°， ∵〈EMC=90°， ∴〈CEM+〈ECM=90°， ∴〈DCP=〈CEM（B）， ∵DC=EC，（已知）， ∴△ECB≌△CDM，（ASA） ∴PD=BC， ∵BC=AC，（已知） ∴PD=AC， ∴四边形ACDP是平行四边形，（对边平 行且相等的四边形是平行四边形）， ∴N是AD的中点，（平行四边形对角线 互相平分）， 2、在平行四边形ACDP中，PD=CA=10， CD=6, 〈ACD=60°， 〈PDC=180°-60°=120°，（同旁内角互 补） 根据余弦定理， PC^2=PD^2+DC^2-2PD*DC*cos<PDC =10^2+6^2-2*6*10*(-1/2) =196, ∴PC=14， ∵PC=2CN， ∴CN=7。

Answer 3

没图不做