Question

线性代数、一个矩阵的转置等于它的伴随,怎样求到它。

Answer 1

-----经用户 "电灯剑客" 指点后重新作答---------

用右上方一撇表示转置,用adj(A)表示伴随矩阵(adjugate matrix).
限于我的水平(和精神状态),仅供参考.

假设实数域上的 n by n 矩阵 A 满足 , A' = adj(A).
利用公式
A adj(A) = adj(A) A = |A| E
如果 A 不可逆,那么 A A' = A' A = O , 于是 A 是零矩阵 (因为一般 矩阵 A 与 A'A 的 rank 相同).
如果 A 可逆 , 根据 A A' = A' A = |A| E 是正定矩阵得 |A| > 0 , 而取行列式得到等式
|A|^2 = |A|^n

当 n 不是 2 时, 显然 A 的行列式是 1 , 从而
A A' = A' A = E
A 是正交矩阵.

当 n = 2 时, A 等于 a P , 其中 a 是任意正实数(事实上 a 是 det(A) 的正的平方根), P 是行列式等于 1 的正交矩阵.由于行列式为 1 的正交矩阵 只有一种形式,就是
[ cos θ , -sin θ ]
[ sin θ , cos θ ]
似乎叫做 rotation matrix , 可参考 wikipedia . 最终得到:

[[结论]] 实数域上的 n by n 矩阵中, 满足 A' = adj(A) 的实矩阵的全体是以下的几种:
1) 零矩阵.
2) n 不是 2 时, 行列式等于 1 的正交阵.
3) n = 2 时, A 形如
[ x , - y ]
[ y , x ]
其中 x, y 是任意的实数.

Answer 2

这个结论正确，但A^2=/A/是错误的

Answer 3

由题意得
A*A'=A*adj(A)=|A|E
两遍同取行列式，得
|A|*|A'|=|A|
因为 |A'|=|A|，故 |A|^2=|A|，所以|A|=0或者|A|=1。
当|A|=0时，A*A'=0E=零矩阵，
故有A=零矩阵；
当|A|=1时，A*A'=E，
所以A'=A的逆，此时A为正交矩阵。
因此最终结果是 A为零矩阵或者正交矩阵。