Question

如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别另作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF。

（1）求证：四边形ADEF是平行四边形。
（2）在△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
（3）对于任意△ABC,四边形ADEF是否总存在？

Answer 1

1）四边形ADEF是平行四边形．（1分）
∵等边三角形BCE和等边三角形ABD，
∴BE=BC，BD=BA．
又∵∠DBE=60°-∠ABE，∠ABC=60°-∠ABE，
∴∠DBE=∠ABC．
∴△BDE≌△BCA．（2分）
∴DE=AC．
∵在等边三角形ACF中，AC=AF，
∴DE=AF．
同理DA=EF．
∴四边形ADEF是平行四边形．（4分）
（2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．（5分）

（3）当AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF是菱形．（6分）

（4）当∠BAC=150°且AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF是正方形．（7分）

（5）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．（8分）

Answer 2

(1)∵∠DBA+∠EAF=∠CBF+∠EAF=60°
∴∠DBE=∠CBA
∵BD =BA,BC =BE
∴△ABC≌△DBE
同理△ABC≌△FEC
∴CF=AF=DE，EF=AD
所以四边形ADEF为平行四边形
(2)若为矩形，则∠BAC=150°
(3)当AB=AC时且∠BAC≠60°时，四边形ADEF是菱形
(4)当AB=AC时且∠BAC=150°时，四边形ADEF是正方形

Answer 3

图呢？