Question

第八题，求解。

Answer 1

等边三角形，面积为四分之三倍的根号三，r的三次方

追问

这是高等数学啊，要用函数的方法做啊。

Answer 2

没法做

追答

条件不足

给你一个类似的题吧

AB为⊙ O中的一条长为4的弦, P为⊙ O上的一动点,cos∠ APB = .问是否存在以 A 、 P、B为顶点的面积最大的三角形,试说明理由.若存在,求出这个三角形的面积.

【解析】

【答案】

思路解析:因为AB为定值,要使S△APB最大,只要AB边上的高最大,所以P在弓形的最高点即可,又∠APB为定值,根据圆周角定理的推论,想到构造直角三角形,使其一锐角等于∠APB.

解法一:存在以A、P、B为顶点的面积最大的三角形.



图2-1-12

∵cos∠APB=,∴∠APB≠90°.

∴AB不是直径.

过O作AB的垂线并延长,分别交优弧和劣弧的中点于P、Q,且PD、QD为弓形的高,

∴P为优弧中点时,△APB面积最大,作⊙O直径AC,连结BC,

则∠ABC =90°,∠APB=∠C,

∴cos∠APB =cosC = =.

设BC=x,则AC =3x,

在Rt△ABC中,AB =4,

由勾股定理AC2 =AB2+BC2,

∴(3x)2 =42+x2,解得x =.

∴BC=,AC =3.∴.

∵AO =OC,AD =BD,∴.

∴PD = PO + OD = + =.

∴S△APB =AB·PD =×4×2=.

解法二:同解法一,P为优弧中点时,△APB面积最大.

作AC⊥PB,垂足为C,



图2-1-13

在Rt△PCA中,cos∠APC=,

∴=.

设PC=x,则PA =PB =3x,AC =2x,BC=2x,

在Rt△ACB中,AB =4,

由勾股定理得AC2+BC2=AB2,

∴ +(2x)2=16,解得.

∴AC =2x=,PB =3x =.

∴S△PAB =PB·AC =.

追问

怎么不能做，这是高等数学题，是多元函数求极值。我只是不知道，怎样设未知量。

Answer 3

面积最大的三角形是锐角三角形。
设圆内接三角形有三种，一种为锐角三角形ABC，一种为直角三角形DBC，一种为钝角三角形EBC。
共同的底边为BC，而三个三角形的高最大的为锐角三角形，所以面积最大的三角形是锐角三角形。

追问

用多元函数求极值的方法怎么做，写出函数表达式。这是高等数学。

追答

等腰三角形三个顶点到圆心
设A是顶点，B,C在底边上，圆半径为R
则三点到圆心等距
设角AOB=X
则S三角形
=(1/2*R^2*sinx)*2+(1/2*R^2*sin(2*pi-x))
=(1/2*R^2)*(2sinx+sin(2*pi-2x)
乘号左边是个常数， 所以求右边极值
设y=2sinx+sin(2*pi-2x)
求导得y'=2cos(x)-2cos(2x)
令y'=0,并且因为0<x<pi
所以x=pi*2/3
所以角AOB=120度
同理BOC=120度
AOC=120度
所以ABC是等边三角形